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| 授業計画/Class |
第一週のみ「オンライン授業（オンデマンド型）での実施」である。
複素関数論を学ぶための基本的な概念を理解することが目標。
複素数と複素平面、極形式、三角不等式を解説する。
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| 授業計画/Class |
複素微分可能性の定義と性質を理解することが目標。
極限、複素関数の連続性と複素微分可能性、正則関数の定義を解説する。 |
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| 授業計画/Class |
正則性の定義を理解し、具体的な関数の正則性を調べられるようになることが目標。
正則性の定義の後、コーシー・リーマンの関係式の解説をし、その後で正則関数の例として、多項式関数、有理関数、指数関数、三角関数について述べる。 |
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| 授業計画/Class |
複素線積分の定義を理解することが目標。
正則関数の例の続きとして、対数関数、一般のべき関数について解説する。
また、曲線の定義と曲線に沿った複素線積分の定義を解説する。 |
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| 授業計画/Class |
実際に複素線積分が計算できて、自分で性質を調べられるようになることが目標。
複素線積分の基本的な性質を解説し、いくつかの基本的な関数および曲線に対して実際に複素線積分を計算することで、コーシーの積分定理への導入を行う． |
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| 授業計画/Class |
コーシーの積分定理がなぜ成り立つのかを概ね理解することが目標。
導関数が連続であり、さらに曲線が比較的扱いやすい場合に限定してコーシーの積分定理を証明する。
より一般的な場合の証明について、簡単に補足する。
また積分路の変更についても解説する。 |
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| 授業計画/Class |
コーシーの積分定理について、主張を理解し、使えるようになることが目標。
前半ではコーシーの積分公式とその積分計算への応用について解説する。
後半ではべき級数の基本事項について解説する。 |
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| 授業計画/Class |
べき級数に関する諸概念、およびべき級数で定義された関数が正則であることを理解することが目標。
複素数列、複素級数の収束と発散について述べ、べき級数の収束半径、べき級数の四則演算と微分・積分に関して解説する。 |
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| 授業計画/Class |
正則関数が各点を中心としてべき級数展開できることを理解することが目標。
正則関数のべき級数展開、一致の定理について解説する。また、一致の定理を利用した定義域の拡張（解析接続の原理）に関して解説する。 |
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| 授業計画/Class |
孤立特異点のまわりの関数の挙動をローラン展開を用いて扱えるようになることが目標。
孤立特異点におけるローラン展開、極と真性特異点について解説する。実際にどのようにローラン展開を計算するかについて、いくつか具体例を用いて解説する。 |
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| 授業計画/Class |
孤立特異点の情報がどのように複素線積分に影響するのかを理解することが目標。
極における留数の定義を与える。また、留数定理について解説する。 |
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| 授業計画/Class |
複素解析を利用して、有理関数の講義積分などの比較的簡単な実積分を計算できるようになることが目標。
留数定理をもとに、三角不等式などによる積分値の評価も利用して実積分を計算する方法を解説する。 |
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| 授業計画/Class |
複素解析を利用した実積分の計算法をより理解することが目標。
前回学んだことに加え、積分路の取り方を工夫するなどにより、より一般の実積分を計算する方法について解説する。 |
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| 授業計画/Class |
正則性により関数値がどのような制限を受けるか、理解することが目標。
コーシーの積分公式の応用例として、最大値の原理、リュービルの定理を学ぶ。リュービルの定理を用いて代数学の基本定理を証明する。 |
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| 授業計画/Class |
講義の内容全体を整理する。また、試験の概要について、説明する。
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| 事前学習/Preparation |
授業計画に述べた用語や定理がどのようなものか、教科書や資料を読んで、概要をつかもうとする。
すでに主張を学んだが証明を学んでいない定理がなぜ成り立つか考えてみたり、解き方は学んでいないが主張は理解できる問題の解き方を考えてみるなどしたうえで受講すると、問題意識を持ったうえで講義に参加できるかと思う。 |
| 事後学習/Reviewing |
講義で学んだ内容についての理解を確かなものとするために事後学習に精力的に取り組んでほしい。
講義で学んだ定義と定理について、ノートにまとめ、具体例（定義を満たす例、満たさない例、定理の適用できる例、定理を適用できない例など）を考えて、本当に具体例になっているかどうかを考えるとよい。さらに講義で提示された練習問題について取り組んでほしい。
用語の定義や定理の主張をよく理解できた後は、定理の成り立つ理由について、講義で学んだ・もしくは提示された資料に述べられた証明を読みこむのも価値がある。理解したと思った内容を、ノートに（できるだけ何も見ずに）再構成すると、より確かな理解が得られるだろう。
複素解析Ⅰ演習の問題にしっかり取り組むことも重要である。演習の時間内にできなかった問題も、試行錯誤しならが解こうと試みてほしい。
また、考えたことや分からないことについて友人や他の受講者と話し合ったり、書物などで調べることも、理解を深めるということを超えて大切なことである。なかなか解決しないことについては、神谷に連絡せよ。なにかしらヒントを提示できることが多いかと思う。
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