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講義概要/Course description
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「応用初等代数」において整数環や有理数体など，環および体の初歩と簡単な実例について学んだ．また，代数学Iでは，群に関する基本的な知識を学んだ．
この講義では，群とともに数学で広く使われる代数的な構造である環と体について，さらに深く学ぶことが目標である．基本的な事項から始めて，環と体の性質や具体的な例，また，これらの概念が現代数学においてどのように使用されているのかを紹介する．とくに，環のイデアルと準同型定理，イデアルの生成，多項式環とユークリッド整域などが重要である．環・体の例として，多項式環，ガウス整数環，有理関数体，有限体などを学び，また具体的な応用を多く紹介することで，理解をすすめるとともに，どのように使うのかを体得できるようにする．
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達成目標/Course objectives
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群・環・体は現代数学においてなくてはならない基礎的な概念であり，基本的な知識を身につけ，自由に操れるようになることが重要である．この講義では，環と体の定義と基本的な性質，具体的な例を理解し，実際に整数環や多項式環，ガウスの整数環などに対して応用できるようになることを目標とする．
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学部・研究科のディプロマポリシー（卒業認定・学位授与の方針）に基づき、当該科目を履修することで身につく能力 / Abilities to be acquired by completing the course in accordance with the faculty and graduate school diploma policy (graduation certification and degree conferral)
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学部・研究科のディプロマポリシー（卒業認定・学位授与の方針）/ Undergraduate and Graduate Diploma Policy (Graduation Certification and Degree Conferral)
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履修条件（事前に履修しておくことが望ましい科目など）/Prerequisite
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「線形代数IA,IB」，「応用初等代数」の内容を仮定する．
学習効果を高めるため，同時に開講される「代数学II演習」を並行して履修することを強く勧める．
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授業計画/Lecture plan
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1
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| 授業計画/Class |
ガイダンス．
オンライン授業(オンデマンド型)．CoursePower上で行う．
この講義の進め方を説明したあと，これまでに学んだ代数学について復習する．
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2
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| 授業計画/Class |
導入；環と体の定義，公理系．
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3
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| 授業計画/Class |
環の基本事項 (1)．部分環．準同形写像．
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4
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| 授業計画/Class |
環の基本事項 (2)．零因子，べき零元，整域，商体．
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5
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| 授業計画/Class |
イデアル．イデアルの公理系，生成，共通部分，積，和．
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6
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7
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| 授業計画/Class |
環準同型定理 (1)．環の準同型とその基本的な性質．
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8
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| 授業計画/Class |
環準同型定理 (2)．環準同型定理とその応用．中国式剰余定理．
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9
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| 授業計画/Class |
素イデアルと極大イデアル．その定義と基本的な性質．
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10
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| 授業計画/Class |
ユークリッド整域と単項イデアル整域．ユークリッドの互除法．
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11
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| 授業計画/Class |
素元分解 (1)．素元と既約元．素元分解整域 (UFD)．
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12
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| 授業計画/Class |
素元分解 (2)．単項イデアル整域は素元分解整域．
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13
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| 授業計画/Class |
素元分解 (3)．ガウス整数環における素元分解．
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14
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| 授業計画/Class |
非素元分解整域における素イデアル分解の例．
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15
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| 事前学習/Preparation |
毎回の講義の前に，前回の講義ノートを読んで復習する． |
| 事後学習/Reviewing |
今回の講義で学んだことの要点を整理し，必要なら参考書を用いて理解を深める．また，講義の中で練習問題が出題された場合にはそれを解く． |
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授業方法/Method of instruction
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| 区分/Type of Class |
対面授業 / Classes in-person
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| 実施形態/Class Method |
通常型 / regular
補足事項/Supplementary notes第1週はオンライン授業(オンデマンド型)で行う．第2週以降は対面授業(通常型)で行う．また必要に応じて演習を行う．
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| 活用される授業方法/Teaching methods used |
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成績評価方法/Evaluation
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| 1 |
試験 Exam
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100%
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期末試験の結果により評価する．
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教科書/Textbooks
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| | コメント
Comments |
| 1 |
特定の教科書は使いません．
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参考書/Reference books
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| | 著者名
Author | タイトル
Title | 出版社
Publisher | 出版年
Published year | ISBN | |
| 1 |
中島匠一
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代数と数論の基礎
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共立出版
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2000
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4320015614
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| 2 |
堀田良之
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代数入門 --群と加群--
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裳華房
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2021
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4785314133
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メッセージ/Message
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数学の理解には問題演習が不可欠である．代数学II演習を合わせて履修するのみでなく，理解したと思えるまで演習することが必要である．
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